论文标题：A Study of the Response Surface Methodology Model with Regression Analysis in Three Fields of Engineering

论文链接：https://www.mdpi.com/2571-5577/8/4/99

期刊名：Applied System Innovation (ASI)

期刊主页：https://www.mdpi.com/journal/asi

1. 引言

在工程实验中，研究人员往往需要同时考察多个因素对某项性能指标的影响，并据此寻找合适的工艺条件。响应面法（Response Surface Methodology, RSM）常用于建立因素与响应值之间的数学关系，并通过等高线图和三维响应面图展示可能的优化方向。然而，这些图形和优化结论是否可靠，取决于背后的回归方程是否建立得当。本文关注一个容易被忽视的问题：在使用 RSM 时，研究者是否充分检验了回归模型，而不是直接采用软件生成的完整方程。作者从半导体制造、钢材和纳米材料三个工程领域选取已有研究中的数据，重新进行较完整的回归分析，检查变量显著性、模型预测能力、回归假设及影响点，借此评估常见建模做法可能带来的问题。

2. 材料与方法

研究共整理了 16 组来自既有文献的工程数据，涵盖半导体制造、钢材和纳米材料三个领域。作者通过 ScienceDirect、Scopus、IEEE Xplore、SpringerLink、Google Scholar 和 J-STAGE 等数据库检索相关研究，使用的关键词包括 RSM、回归分析、模型评估，以及相应的材料或制造领域关键词。研究并非提出一种全新的优化算法，而是对已发表研究中的响应面方程进行再分析，判断其统计适用性。具体流程包括：先拟合包含候选变量的回归模型，再通过逐步变量筛选中的后退消除法（backward elimination）和 t 检验判断各项是否具有显著影响（每轮仅剔除t值最小且p值大于0.05的一项，剔除后重新拟合全模型再开展下一轮检验，全程不一次性批量删除多个不显著项，避免引入估计偏差）；随后使用模型拟合与预测相关指标（调整后 R²、估计标准误差 s 和预测残差平方和 PRESS 等）评估方程表现，并检查残差正态性、方差齐性等回归假设，同时识别可能对结果产生过大影响的观测点。其中，正态性采用 Kolmogorov–Smirnov 检验，方差齐性采用 Spearman 秩相关法，显著性水平均取 0.05；影响点依据外部学生化残差和 DFFITS 判断，临界值取 ±2.0；统计分析使用 SigmaPlot 14.0。作者也比较了文献中原始模型与经过完整回归分析后得到的模型。

3. 分析与结果

分析显示，所审查的 RSM 研究在回归建模方面存在多类问题。部分研究直接使用包含所有候选项的完整方程绘制等高线图和三维响应面图，却没有充分利用方差分析表中的系数、t 值和 p 值来判断变量是否真正重要；有的研究在看到变量的 p 值高于预设阈值后，便一次性删除多个变量，而没有重新拟合并逐步检验；还有研究没有充分检查数据是否满足残差正态性和方差齐性要求，或未识别具有较大影响力的观测点。按作者的检验，有 3 项研究的数据未通过正态性检验，3 项未通过方差齐性检验，其中 1 项两者均未通过。作者指出，在纳入分析的 16 组数据中，只有一项研究报告的方程能够较完整、恰当地表达响应值与影响因素之间的关系。以半导体制造领域为例（表1），其中 Won 等人的硅片抛光研究直接使用完整方程绘制曲面图，而后退消除后发现压盘转速对表面粗糙度没有显著影响；适当方程的调整后 R² 由 0.882 升至 0.909，PRESS 由 1.299 降至 0.646，等高线图的形状也随之改变。这说明变量筛选可能改变对工艺因素重要性的判断。总体而言，软件可以方便地计算回归系数并生成图形，但软件输出本身并不能证明模型有效。

表1 适用于半导体制造的响应面法（RSM）方程评估结果 （引用自原文 Table 4）

4. 讨论

本文的关键观点是：RSM 的可靠性不只取决于实验设计或软件绘图功能，也取决于研究者是否认真完成回归诊断。响应面图看起来平滑、完整，并不意味着方程中的每个变量都具有统计意义，也不意味着模型能够可靠预测。若使用不恰当的方程进行优化，研究者可能高估某些因素的作用，忽略其他因素，甚至得出不可靠的最佳工艺条件。作者因此建议采用完整的回归分析流程，并推荐使用后退消除法逐步筛选变量，同时检验模型拟合、预测表现、统计假设和影响点。原文还统计了所用软件：16 项研究中有 10 项使用 Design-Expert，但整体上只有 1 项报告了恰当的方程，作者认为多数使用者没有充分利用软件给出的计算结果。此外，原文引用多条样本量经验公式（如 n ≥ 5p + 20，p 为模型参数个数），指出所分析研究的样本量在多数情况下不足，可通过增加各试验点的重复次数来解决。需要注意的是，本文的结论来自对 16 组既有数据的再分析，样本范围有限；作者也指出，部分相关研究没有公开原始实验数据，因此所选文献可能存在选择偏差。研究结果更适合作为对 RSM 建模实践的警示，而不是对所有工程领域或所有 RSM 应用作绝对判断。

5. 展望与结论

本文通过重新分析半导体制造、钢材和纳米材料领域的 16 组数据，指出响应面法研究中常见的回归建模问题，并强调变量筛选、模型预测能力评估、回归假设检验和影响点诊断的重要性。对于工程研究人员而言，建立响应面方程不应止步于运行软件和绘制图形；只有在统计检验支持下，优化结果才更值得信赖。原文还提到，数据未通过正态性或方差齐性检验时，可考虑对响应变量作对数、平方根或 Box–Cox 变换，或采用加权最小二乘等方法；遇到影响点，应先判断是否源于实验或录入错误，再决定修正、剔除，或改用稳健回归。作者还建议加强工程人员的回归分析培训、在实验设计和数据分析阶段寻求统计学专业支持，并考虑将后退消除等完整分析流程整合进 RSM 软件。总体而言，这篇论文提醒我们：可信的工程优化不仅需要实验数据，也需要严谨、透明且可复核的统计建模。

引用格式：

Chen, H.-Y.; Chen, C. A Study of the Response Surface Methodology Model with Regression Analysis in Three Fields of Engineering. Appl. Syst. Innov. 2025, 8, 99.

期刊介绍

主编：Prof. Dr. Christos Douligeris, University of Piraeus, Greece

Applied System Innovation (ASI, ISSN 2571-5577) 是一个聚焦于集成工程与技术，经同行评审的国际性开放获取期刊。该期刊由国际知识创新和发明学会 (IIKII) 所有，由曼迪匹艾（MDPI）以月刊的形式在线出版。目前期刊已被Ei Compendex、Scopus、ESCI (Web of Science) 等重要数据库收录。

期刊致力于发表应用系统创新方面的研究成果，最终目标是发现与未来设计相关的新型学科知识，促进一系列行业技术的发展。期刊欢迎对应用系统创新感兴趣的研究者提交原创性研究论文和综述文章。

2025 Impact Factor：3.4

2025 CiteScore：9.0

Time to First Decision：21.3 Days

Acceptance to Publication：4.5 Days