论文标题：Analysis of D-Wave Topologies with k-Hop-Based Graph Metrics

论文链接：https://www.mdpi.com/2624-960X/7/2/17

期刊名：Quantum Reports

期刊主页：www.mdpi.com/journal/quantumrep

导语

量子退火处理器拓扑结构的设计直接影响量子计算任务的可行性与效率。D-Wave公司先后推出的Chimera、Pegasus和Zephyr三种拓扑架构，体现了量子退火硬件从早期设计到当前最新方案的演进路径。匈牙利埃斯泰尔哈齐·卡罗利天主教大学Csaba Biró等人发表于Quantum Reports的一项研究，采用k跳图度量方法对上述三种拓扑进行了系统性比较分析，揭示了不同架构在连通性、密度和冗余特性方面的本质差异。

一、图度量方法与k跳环境

经典的图度量方法包括度中心性、介数中心性、紧密中心性、特征向量中心性和聚类系数等。这些方法在一般网络分析中应用广泛，但在量子拓扑研究领域存在若干局限。首先，介数中心性和紧密中心性等指标在大规模图上计算复杂度较高，难以实用。其次，在极稀疏或极稠密的图中，部分中心性指标可能失去区分度。此外，经典方法通常假设节点角色同质，对异构网络适应不足。

该研究采用了一类介于局部与全局之间的度量方法——基于k跳环境的图指标。所谓k跳环境，是指从某个节点出发经过不超过k步所能到达的所有节点及其连边构成的子图。该方法的核心思想是：通过限制考察范围来降低计算复杂性，同时保持对局部结构的充分描述。

k=3被选为主要分析参数，其选择具有物理依据。量子退相干效应随距离增加呈指数衰减，3跳距离之外的影响在实际系统中可忽略不计。量子纠缠的概率也随空间距离增加而快速下降，3跳通常构成了有效相互作用的边界。此外，在一些自旋系统或量子磁体中，局域动力学相变的相互作用范围往往也在3跳以内。因此，3跳环境在信息完整性与计算复杂度之间提供了较好的平衡。

研究所考察的度量指标分为两类：基于生成树的密度度量和基于团的重叠度量。

密度度量包括加权通信图密度、相对通信图密度和加权相对通信图密度。这些指标将k跳子图中的边数与最小生成树的边数进行对比，并引入全图的归一化因子，从而反映局部区域的连接紧密程度。

重叠度量包括通信图冗余（基于数值）以及加权通信图冗余（基于规模、基于数值）。这些指标基于极大团的统计特性，评估子图中连接模式的重叠程度。连接冗余越高，通常意味着系统具备更强的容错能力和更多的替代路径。

二、Chimera拓扑分析

Chimera拓扑的核心结构是由完全二分图构成的二维网格。每个单元包含L个垂直取向和L个水平取向的量子比特，形成K_{L,L}的二分结构。研究分析了从C_{2,2,4}到C_{16,16,4}的多种配置，L取值为4和8。

在密度度量方面，相对通信图密度随图尺寸增大保持稳定，表明该指标对规模变化不敏感。加权通信图密度和加权相对通信图密度则表现出显著波动，尤其在较小尺寸图中更为明显，随图尺寸增大呈下降趋势。这表明加权密度指标对局部结构变化更为敏感，在规模扩大时贡献逐渐降低。

在重叠度量方面，基于规模的加权通信图冗余随图尺寸增大而下降，表明局部区域的重叠连接程度在整体图中被稀释。相比之下，基于数值的通信图冗余随图尺寸增大而显著增长，说明全局范围内节点之间的聚类模式增加。加权数值冗余则急剧下降，显示在扩大规模时单个加权连边对全局冗余的贡献迅速衰减。

对于C_{8,8,4}配置，全图的冗余值为5.77，平均团规模为8.4×10³。在3跳环境中，平均每个节点可访问全图约12.3%的节点和7.7%的边。

三、Pegasus拓扑分析

Pegasus拓扑在Chimera基础上引入了更多长程耦合。每个单元的量子比特增加至8个，除最近邻连接外，还包含跨单元的长程耦合器。该拓扑的最大度数为15，节点度分布呈截断正态分布。研究分析了从P₂到P₈的多种配置。

在密度度量方面，相对通信图密度依然保持稳定，数值维持在1.08至1.09之间。加权通信图密度在小尺寸图中达到2.3，显著高于Chimera，表明Pegasus在小规模下具有更强的加权密度。随着图尺寸增加，加权密度和加权相对密度均呈现下降趋势，但下降幅度较Chimera更为显著。

在重叠度量方面，Pegasus展现出独特的线性关系。在不同k值下，加权通信图密度与基于规模的重叠度量之间保持严格线性相关，不出现Chimera中因L值不同而产生的偏离。这一特性表明，Pegasus的拓扑扩展具有高度规整性和可预测性，每个新增连边对冗余的贡献比例恒定，不存在非线性突变或饱和点。

对于P₈配置，全图包含1288个节点和17608条边，全图冗余值为13.69，平均团规模为2.16×10^-6。在3跳环境中，平均每个节点可访问全图16.2%的节点和13.1%的边。

四、Zephyr拓扑分析

Zephyr是D-Wave最新一代拓扑设计，集成了Chimera和Pegasus的基本耦合器类型，并新增了两种奇偶耦合器、两种外部耦合器及十六种内部耦合器。该拓扑的名义度数为20，最大度数可达4T+4。研究分析了从Z_2,1到Z_5,5的多种配置。

在密度度量方面，Zephyr表现出最显著的小尺寸波动。在最小尺寸（V+E=268）时，加权通信图密度达到约3.31，远高于同尺寸下的Chimera和Pegasus。随着规模扩大，该指标逐渐稳定，但某些大尺寸配置下数值仍高于前两种拓扑。加权相对密度的下降趋势相对平缓，表明Zephyr在扩大规模时能更好地保留加权密度特征。

在重叠度量方面，基于规模的加权冗余随尺寸增加保持相对稳定，波动范围窄。这与Chimera的下降趋势和Pegasus的稳定下降形成对比，显示Zephyr在不同规模下能维持较为一致的冗余水平。基于数值的冗余随尺寸增加呈现阶梯式增长，高配置（如Z_5,4、Z_5,5）达到最大值，表明Zephyr在大规模下具备最强的聚类冗余特性。

Z_5,5配置包含1100个节点和23740条边，全图冗余值为21.62，平均团规模为3.18×10^-6。在3跳环境中，平均每个节点可访问全图27.9%的节点和22.4%的边，覆盖比例在三者中最高。

五、三种拓扑的比较与物理含义

从密度度量看，相对通信图密度在三种拓扑中均保持稳定，是可靠性较好的指标。加权通信图密度和加权相对密度在三种拓扑中均随规模增加而下降，但下降模式不同：Chimera呈渐进下降，Pegasus下降最为剧烈，Zephyr则相对平缓。这表明Zephyr在大规模下能更好地保持加权密度的贡献。

从重叠度量看，基于数值的冗余（CGR_vb）在三种拓扑中均随规模增加而上升，但增长速度不同：Zephyr增长最快且呈现阶梯式跃升，Pegasus增长稳定，Chimera增长较慢。这一定量差异反映了三种拓扑在大规模下的结构演化路径不同。

从冗余与密度的关系看，研究发现了一个具有普遍意义的对数增长规律：基于数值的加权冗余随着加权相对密度的增加呈对数增长，即冗余随密度增加的边际收益递减。这一发现对量子硬件设计具有指导意义——增加量子比特之间的连接密度超过某一阈值后，对系统容错能力的提升将变得有限。

从冗余与密度的线性相关性看，Pegasus在所有k值下均保持严格线性，Chimera在高L配置下出现偏离，Zephyr在k=3时出现趋势反转（从递减转为递增）。后者尤其值得注意，因为3跳在Zephyr中几乎可达全图，这一反转可能反映了从局部受限结构到全局高度互联网络的相变特征。

六、方法与应用的关联

基于k跳图度量的分析方法相较于经典全局指标具有更优的计算效率和可扩展性。对于大规模量子处理器，计算全局介数中心性或紧密中心性的开销过高，而k跳方法仅在局部子图上进行计算，显著降低了复杂度。同时，该方法避免了对任意展宽参数的选择，结果更具客观性。

从应用角度看，不同拓扑适用于不同类型的问题。Chimera的均匀度分布有利于优化算法的规则嵌入，Pegasus的高线性规整性使其性能可预测性强，适合系统性扩展，而Zephyr的高连通性和高冗余特性则更适合对容错能力要求较高的应用场景。三种拓扑没有绝对优劣之分，选择取决于具体任务的约束条件。

七、结论与展望

该研究通过k跳图度量方法对D-Wave三种量子退火拓扑进行了系统比较。研究的主要结论包括：Pegasus在密度与冗余之间表现出最严格的线性关系，拓扑扩展最为规整可预测；Zephyr在保持高连通性的同时维持稳定的冗余水平，表现出最均衡的结构特性；冗余随密度增加呈对数增长，超过阈值后边际收益递减。

未来研究方向包括：探索量子电路在Zephyr拓扑上的最优嵌入方法（利用团、二分团及高维晶格结构）；分析拓扑变换对量子退火计算效率和容错性能的影响；扩展k跳方法至更大规模处理器（如包含数万节点的系统）。这些研究将为量子退火硬件的性能优化和问题映射策略提供进一步的理论支撑。

Quantum Reports（ISSN 2624-960X） 创刊于2019年，是一本国际同行评审的开放获取量子科学期刊，由 MDPI 每季度在线出版。发文范围囊括所有量子子领域，从基础量子理论到广泛的应用。Quantum Reports 目的是鼓励科学家尽可能详细地发表他们的实验和理论结果。因此，该期刊对论文的长度没有限制。应提供完整的实验细节，以便可以重现结果。截至目前，期刊已被Scopus、ESCI（Web of Science）等重要数据库收录。

Prof. Dr. Lajos Diósi

Editor-in-Chief

Wigner Research Center for Physics, Hungary

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Acceptance to Publication: 3.7 Days